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　↓『頭の中は最強の実験室』Ｐ２５
　１６４７年イエズス会のグレゴリーは「アキレスと亀」について、アキレスが亀に追いつくまでの時間を次のようにして求めています。
　簡単のために、（中略）アキレスと亀の速さをそれぞれ毎秒２ｍと毎秒１ｍとし、亀はアキレスの前方１ｍからスタートすることにする。この位置をＸ_０とする。アキレスが亀の位置に来るまでには１ｍ移動するわけですから１／２秒かかる。このとき亀は１／２ｍ先に進んでいる。この位置をＸ_１とする。次にアキレスがＸ_１まで追いつくには、１／２ｍ進めばいいわけだから、１／４秒かかる。このとき亀はさらに１／４ｍ先に進んでいる。最初の位置からだと１／２＋１／４ｍ位置である。時間はというと最初のステップで１／２秒、次のステップでは１／４秒である。以下同様に繰り返すので、ｎ回目には、
　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋……＋１／２^ｎ
となる。これは等比級数というもので、その無限個の和は１に収束する（どんどん近づいていく）。
　lim _n→∞（１／２＋１／４＋１／８＋……＋１／２^ｎ）＝１
　したがって、亀がアキレスに追いつかれる位置Ｘ_∞は最初の亀の位置から１ｍのところということになる。それにかかる時間は１秒である。その瞬間にアキレスは亀を追い越し、その後はアキレスのほうが先に行く！

　これにならって、私の前回の記事を分数で表せば、以下のようになる。

　アキレスは毎秒２ｍの速さだから、１ｍ先の亀の出発点に到達したときは１／２秒後。
　亀は１／２秒間にアキレスの１／２ｍ先に進んでいる。

　次にアキレスが亀がわずかに進んでいる地点、１／２ｍ先に到達したときは、１／４秒後（トータルで１／２＋１／４秒後）。
　亀は１／４秒で、１／４ｍ先に進んでいる。

　次にアキレスが亀がわずかに進んでいる地点、１／４ｍ先に到達したときは、１／８秒後（トータルで１／２＋１／４＋１／８秒後）。
　亀は１／８秒で、１／８ｍ先に進んでいる。

　以上を繰り返しているのが「アキレスと亀」の構造。
　「おや？」と思うのは、１／２秒後→１／４秒後→１／８秒後と、時間の間隔が短くなっていくこと。
　実際には、１秒後の、亀のスタート地点から１ｍ進んだ地点でアキレスが追いつき、追い越していくのだが、ゼノンが注目するポイントが１／２秒後→１／２＋１／４＝３／４秒後→１／２＋１／４＋１／８＝７／８秒後となっていて、これでは１秒後に到達することがない。

　あれ？
　グレゴリーは「１秒後に到達する」って言ってんの？

　「無限個の和は１に収束する（どんどん近づいていく）」のには、私も同意する。
　１／２（０．５）→３／４（０．７５）→７／８（０．８７５）→１５／１６（０．９３７５）→３１／３２（０．９６８７５）→６３／６４（０．９８４３７５）
　初めの０．５から１にどんどん近づいていくのは明らか。
　でも１に到達することはない。
　数列においての「＝１」は、「１に限りなく近づく（収束する）」という意味であって、「同等」ではないんじゃないの？



　１を半分に分割したら１／２が二つ。
　１／２＋１／２＝１。
　１／２＋１／４＋１／４＝１。
　１／２＋１／４＋１／８＋１／８＝１。
　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／１６＝１。
　ここで使っている「＝」は同等を意味する。

　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６…＋１／２^ｎ＝１。
　これの「＝」は同等ではなく、「収束する」という意味。

　この二つは、それぞれの意味において正しいが、しかし混同させるのは間違いだろう。
　１に収束するからと言って、「亀がアキレスに追いつかれる位置Ｘ_∞は最初の亀の位置から１ｍ」と答えを導き出すことはできない。
　
　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６…＋１／２^ｎに、さらに１／２^ｎを加えたら１になる。
　しかし「アキレスと亀」では、加えるのは１／２^ｎよりも小さな値だから１になることはない。
　１／２＋１／４＋１／８＋１／８＝１だが、
　１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＝１５／１６だから１にはならない。アキレスは亀を追い抜けない。
　その次も、１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＝３１／３２だから１にはならない。１に収束しているが、アキレスは亀を追い抜けない。
　これを無限に繰り返しても、１に限りなく近づくが、１になることはない。

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　「アキレスと亀」で有名な古代ギリシャのゼノン。
　エレア派の哲学者で、エレア派の始祖であるパルメニデスの弟子であり、養子。
　「エレア」は地名。南イタリアにあった小都市。

　『ウィキペディア』によると、パルメニデスが紀元前５００年か４７５年頃の生まれ。
　ゼノンは紀元前４９０年頃の生まれで、エレアを支配していた僭主ネアルコス（一説によればディオメドン）を倒そうとして捕えられ、紀元前４３０年頃、刑死。
　その一世代あとがソクラテスで、紀元前４６９年頃の生まれ。

　↓『頭の中は最強の実験室』Ｐ２３　「アキレスと亀」
　俊足のアキレスと鈍足の亀が競争する。亀はハンディキャップをもらって、少し進んだ地点からスタートさせてもらうことになった。
　いっせいにスタートして、アキレスが亀の出発点に到達したときには、鈍足の亀もわずかではあるが、その前に進んでいる。次にアキレスが、亀がわずかに進んでいる地点に到達したときには、今度も亀はごくわずかかもしれないがさらにその前に進んでいる。このくり返しは際限なく続くので、アキレスはいつまでたっても亀に追いつけない……

　↓『頭の中は最強の実験室』Ｐ２４
　この論理的結論は、現実に反していて不条理です。実際には、アキレスは、亀に追いつきそして追い越すことは明らかです。出発のときのハンディキャップと速さの違いから、何秒後に追いつくかもすぐ計算できます。
　簡単のために、アキレスと亀の速さをそれぞれ毎秒２ｍと毎秒１ｍとしましょう。亀はアキレスの前方１ｍからスタートすることにします。すると、右図のように、１秒後には亀とアキレスは同じ位置にいますね。つまり追いついています。


　↓『頭の中は最強の実験室』Ｐ２６
　（アリストテレスは）「アキレスと亀」は、ゼノンの論証に誤りがあるのであって、パラドックスではないと言います。ゼノンが結論を導く論法は、アキレスが前回に亀がいた位置まで進むという操作を「無限回」くり返しても、まだ亀はアキレスの前方にいるという論法です。これはすなわち、「アキレスが亀を追いかけている過程にある限り、アキレスは追いつけない」とあたりまえのことを言っているにすぎないとアリストテレスは断じました。

　アキレスが亀を追い抜いていない範囲に限定して、規則的にポイントを設定しているだけにすぎない、と。
　結論としては、これに尽きると思うが、まずは「アキレスと亀」を解明してみよう。

　アキレスは毎秒２ｍの速さだから、１ｍ先の亀の出発点に到達したときは０．５秒後。
　亀は０．５秒間にアキレスの０．５ｍ先に進んでいる。

　次にアキレスが亀がわずかに進んでいる地点、０．５ｍ先に到達したときは、０．２５秒後（トータルで０．７５秒後）。
　亀は０．２５秒で、０．２５ｍ先に進んでいる。

　次にアキレスが亀がわずかに進んでいる地点、０．２５ｍ先に到達したときは、０．１２５秒後（トータルで０．８７５秒後）。
　亀は０．１２５秒で、０．１２５ｍ先に進んでいる。

　以上を繰り返しているのが「アキレスと亀」の構造。
　「おや？」と思うのは、０．５秒後→０．２５秒後→０．１２５秒後と、時間の間隔が短くなっていくこと。
　実際には、１秒後の、亀のスタート地点から１ｍ進んだ地点でアキレスが追いつき、追い越していくのだが、ゼノンが注目するポイントが０．５秒後→０．７５秒後→０．８７５秒後となっていて、これでは１秒後に到達することがない。

　さて、「時間の間隔が短くなっていく」とは言うが、実際の時間が変化しているのではない。
　時間は、普通に定数的に経過している。
　また、アキレスの速度が遅くなっているわけでもない。
　ゼノンは、アキレスと亀の競争をハイスピードカメラで撮影して、０．５秒後、０．７５秒後、０．８７５秒後の写真を見せて「ほら、アキレスは亀に追いつけない」と言っているだけ。
　カメラには、１秒後に追いつき、２秒後にアキレスが亀を追い抜いている写真も撮られているが、それをゼノンは隠している。
　「アキレスが亀を追いかけている過程にある限り、アキレスは追いつけない」と言うアリストテレスの理解が正しいだろう。

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